[SLAM] 양정연 교수 SLAM 강의 18-2강. Normal Distribution in 2 Dim. Space

2021. 10. 5. 03:09

 

안녕하세요

프로그래밍을 배우는 빛나는 샤트입니다. 

 

SLAM 강의 18-2번째. Normal Distribution in 2 Dim. Space

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*이 포스팅은 목원대학교 양정연 교수님의 SLAM강의 유튜브 영상을 보고 제작되었음을 밝힙니다.

출처: 18-2강. Normal Distribution in 2 Dim. Space

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18-2강. Normal Distribution in 2 Dim. Space

 

🎉강의요약

1. Normal Distribution의 수식 전개 z = (x - μ) / σ ~ N(0,1)

2. 2차원에서는 x,y 독립적X, 행렬을 이용해 표현한다. 만약 det = 0이라면 1차원. 직선으로 표현

3. 또한 '회전'한다는 개념이 중요

4. 베이지안 확률: Pr(A|B), 그림을 이용해 이해하기. 겹치는 부분/사전에 일어날 사건

 

 

<Gaussian Generation x'~N(μ,σ)>

0 주변에 반지름 1인 곳에 떨어지는 곳에 e^(-z^2/z)를 적용.
r = sqrt(-2*log(r)/r # 위 수식을 코드로 표현

Mean value
offset을 적용하는 개념으로 μ를 더해주게 되면 평균이 0->μ로 변경된다.

Standard deviation
σ을 곱해주게 되면 기본 표준정규분포 상태에서 1->σ로 변경된다.

N(μ,σ) ≡ σ * N(0,1) + μ
> 위 두개의 식이 같다는 사실 매우 중요!

 

<Gaussian Distribution or Normal Distribution(Z)>

z는 표준 정규 분포(N(0,1) 따른다.

z = (x - μ) / σ ~ N(0,1)
>> σz + μ = x
>> σN(0,1) + μ = N(μ,σ)
식을 전개하면 성립함을 알 수 있다.

Z는 Normal Distribution

 

<Probability in 2D Space>

A = randn(1000,2): x축 1000개, y축 1000개 데이터
2차원일 때 Z2 표현.

과연 x,y는 N(0,1)일까? x,y는 독립 변수라는 의미므로 위 그래프가 성립되지 않음.
데이터가 가운데 몰려있다면 x,y가 독립이 아니다.

즉, σ는 다르게 봐야 한다.

가운데 그림은 x방향으로 퍼져있고 우측 그림은 y방향으로 퍼져있다.
가운데는 x에 2배 우측은 y에 1.5배

만약 2개 동시 증가한다면? 좌측 아래 빨간 데이터 그림. 회전했다는 개념이므로 행렬이 필요!

수기로 적은 행렬처럼 σ를 따로 표현해줘야 한다! 

 

<Quiz>

Det = 0, rank가 부족. 차원 하나가 부족.
>> 그림을 그려보면 직선! 다차원이 단차원이 되었기 때문에 문제 풀기는 쉽다.

 

<Probablity in n-dim. Space>

N차원: 1차원 수식과 유사. (x-μ)의 전치와 σ의 -1승 그리고 (x-μ)를 이용하게 된다.
추가로 μ=0이라면 XT = AX로 표현할 수 있는데 positive definition으로 표현되고 이는 곧 타원의 방정식(x^2/2 + y^2 = 1)로 된다. PCA 배울때 나온다.

시그마 행렬을 보면 [[2 0.5] [0.5 1.5]]인데 0.5,0.5이므로 회전한다는 의미이고 x는 2만큼, y는 1.5만큼.
만약 [[2 0] [0 1.5]]라면 0,0 이므로 회전이 없다.

 

<Two types of Probabliity>

1. Priori 확률
2. Posterior 확률: 끝난 후의 확률. 조건부 확률
(조건부 확률, 베이지안)
Pr(A|B): B가 일어난 후 A가 일어날 확률

 

<Conditional Probability>

A,B의 겹치는 부분과 B의 비율이 Pr(A|B). B가 일어난 후 A가 일어난 경우

 

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